Question

17．已知{a_n}为等差数列，且a₄=8，a₃+a₇=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₄=8，a₃+a₇=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=8}\\{2{a}_{1}+8d=20}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$]
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．