Question

5．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点P（1，0），直线与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{15}$，求|PA|•|PB|及直线的倾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出圆的方程．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是参数）代入圆的方程（x-2）²+y²=4，得t²-2tcosα-3=0．由此利用韦达定理和弦长公式能求出|PA|•|PB|及直线的倾斜角α的值．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
于是有x²+y²=4x，化简得（x-2）²+y²=4．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是参数）代入圆的方程（x-2）²+y²=4．
得（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化简得t²-2tcosα-3=0．设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=2cosα}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$，∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+12}$=$\sqrt{15}$，
∴4cos²α=3，cosα=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，$α=\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的应用，考查|PA|•|PB|及直线的倾斜角α的值的求法，是中题，解题时要注意韦达定理和弦长公式的合理运用．