Question

平面直角坐标系内点P（-1，1），点Q（3，2），点R在x轴上，设点R的坐标为（t，0），求当△PQR为锐角三角形时，实数t的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,转化思想

分析：由当△PQR为锐角三角形时可得P，Q，R都为锐角，由∠P为锐角可得

PQ

•

PR

＞0，由∠Q为锐角可得，

QP

•

QR

＞0，由∠R为锐角可得，

RQ

•

RP

＞0，代入整理即可求实数t的取值范围．

解答： 解：由当△PQR为锐角三角形时可得P，Q，R都为锐角，
由∠P为锐角可得

PQ

•

PR

＞0，4t+4-1＞0，即有t＞-

3

4

．
由∠Q为锐角可得，

QP

•

QR

＞0，-4（t-3）+2＞0，即有t＜

7

2

由∠R为锐角可得，

RQ

•

RP

＞0，（3-t）（-1-t）+2＞0，解得不等式即有，t＜1-

2

，或者t＞1+

2

．
综上所述，实数t的取值范围：（-

3

4

，1-

2

）∪（1+

2

，

7

2

）．

点评：本题主要考查了向量夹角公式的应用，二倍角公式的运用，向量的数量积的符号在判断角的范围中的应用，属于中档题．