Question

【题目】已知为实常数，函数.

（1）若在是减函数，求实数的取值范围；

（2）当时函数有两个不同的零点，求证：且.（注：为自然对数的底数）；

（3）证明

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：(1) 因，则，又在是减函数所以在时恒成立，则实数的取值范围为 ；(2)先证明下当时，，由（1）知，则在内单调递增，在内单调递减，由，得.所以，；（3）由（1）知当时， ，当时，有，即，累加可得结果.

详解：（1）因，则，又在是减函数所以在时恒成立，则实数的取值范围为

（2）因当时函数有两个不同的零点，则有，

则有.设 . .

当 时， ；当 时， ；

所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .

由于 ，且 ，所以 ，又，所以.

下面证明：当时， .设 ，

则 .在 上是增函数，

所以当时， .即当时，..

由得 .所以.

所以 ，即，，.

又 ，所以，.

所以 .而，则有.

由（1）知，则在内单调递增，在内单调递减，

由，得.所以， .

（3）由（1）知当时，在上是减函数，且

所以当时恒有，即

当时，有，即，

累加得：（）