Question

9．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB．

（I）若M为棱AB的中点，求四面体EMCB的体积；
（II）若M为棱AB上的动点，确定M的位置，使直线AD平行于平面EMC，并证明．

Answer 1

分析 （I）证明AE⊥平面BCDE，求出V_A-BCE，则V_E-MCB=V_M-BCE=$\frac{1}{2}$V_A-BCE；
（II））连结BD交CE于O，连结OM，由线面平行的性质得出AD∥OM，故而$\frac{BM}{AM}=\frac{OB}{OD}$，利用△OCD∽△OEB得出$\frac{OB}{OD}=\frac{BE}{CD}=2$．

解答 解：（I）由等腰梯形知识可得AE=DE=1，
BE=2．
∵DE⊥AE，AE⊥BE，BE?平面BCDE，
DE?平面BCDE，DE∩BE=E，
∴AE⊥平面BCDE，
∴V_A-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$，
又M为AB的中点，
∴V_E-MCB=V_M-BCE=$\frac{1}{2}$V_A-BCE=$\frac{1}{6}$．
（II）连结BD交CE于O，连结OM，
∵AD∥平面MCE，AD?平面ABD，平面ABD∩平面MCE=OM，
∴OM∥AD，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{OB}{OD}$，
∵△OCD∽△OEB，∴$\frac{OB}{OD}=\frac{BE}{CD}=2$，
∴$\frac{BM}{AM}=2$，
即当M为AB靠近A点的三等分点时，AD∥平面MCE．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．