Question

如图，C，D两点在△PAB的边AB上，AC=BD，若∠CPD=90°，且PA²+PB²=10，则2AB+CD的最大值为

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，以CD的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系．不妨设C（-a，0），D（a，0），B（a+b，0），A（-a-b，0），P（x，y）．
由∠CPD=90°，利用圆的方程可得x²+y²=a²．由PA²+PB²=10，利用两点之间的距离公式可得（x+a+b）²+y²+（x-a-b）²+y²=10，
化为（a+b）²+a²=5．再利用数量积的性质可得2AB+CD=2（2a+2b）+2a=4（a+b）+2a≤

(a+b)2+a2

•

42+22

即可得出．

解答： 解：如图所示，以CD的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系．
不妨设C（-a，0），D（a，0），B（a+b，0），A（-a-b，0），P（x，y）．
∵∠CPD=90°，∴x²+y²=a²．
∵PA²+PB²=10，∴（x+a+b）²+y²+（x-a-b）²+y²=10，
化为（a+b）²+a²=5．
∴2AB+CD=2（2a+2b）+2a=4（a+b）+2a≤

(a+b)2+a2

•

42+22

=10，
当且仅当向量（4，2）与向量（a+b，a）共线时取等号．
∴2AB+CD的最大值为10．
故答案为：10．

点评：本题考查了两点之间的距离公式、数量积的性质、圆的方程等基础知识与基本技能方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．