Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-

π

6

）（A≠0）．
（1）当0≤x≤

π

2

时，求y=f（sinx）的最大值；
（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解？

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）用换元法，设t=sinx，x∈[0，

π

2

]，化为求关于t的函数在闭区间上的最大值即可；
（2）用换元法，设t=sinx，化为t∈[-1，1]上讨论方程2t²-2t+1=a解的情况，从而求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
设t=sinx，x∈[0，

π

2

]，则0≤t≤1；
∴y=2(t2-

3

2

t)+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

，
∴当t=0时，y取得最大值y_max=1；…（6分）
（2）方程2sin²x-3sinx+1=a-sinx化为
2sin²x-2sinx+1=a，
该方程在[0，2π]上有两解，
设t=sinx，则方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解，
（5-a）（1-a）＜0或△=0；
∴a∈（1，5）或a=

1

2

；
②当t=-1时，x有惟一解x=

3

2

π，
③当t=1时，x有惟一解x=

π

2

，
综上，当a∈（1，5）或a=

1

2

时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解．…（16分）

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应利用换元法，把三角函数化为研究普通函数在某一区间上的性质问题，是中档题．