Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，集合B={x|f（x-2a+1）＞1，a∈R}，A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由已知条件推导出A={x|1＜x＜

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}，B={x|x＞2a+2，a∈R}，由A∩B=∅，得2a+2≥

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，由此能求出实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），又f（3）=1，
∴2=f（3）+f（3）=f（9），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
A={x|f（x）＞f（x-1）+3}={x|f（x）＞f9x-1）+f（9）}
={x|f（x）＞f（9（x-1））}={x|

x＞9(x-1) x＞0 x-1＞0

}={x|1＜x＜

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}，
B={x|f（x-2a+1）＞f93），a∈R}
={x|x-2a+1＞3，a∈R}
={x|x＞2a+2，a∈R}，
∵A∩B=∅，
∴2a+2≥

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，解得a≥-

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，
∴实数a的取值范围是[-

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，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．