Question

如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：面ADEF⊥面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）欲证GH∥平面CDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证GH与平面CDE内一直线平行，而G是AE，DF的交点，G是AE中点，又H是BE的中点，则GH∥AB，而AB∥CD，则GH∥CD，CD?平面CDE，GH?平面CDE，满足定理所需条件．
（2）利用线面垂直的判定定理证明ED⊥面ABCD，即可证明面AFED⊥面ABCD．

解答： 证明：（1）∵四边形ADEF是正方形，G是AE，DF的交点，
∴G是AE中点，
又H是BE的中点，
∴△EAB中，GH∥AB，---------------2分
∵ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴GH∥CD，----------------------------------------------4分
又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE
∴GH∥平面CDE-------------------7分
（2）∵BD⊥平面CDE，
∴BD⊥ED，-------------------9分
∵四边形AFED为正方形，∴ED⊥AD，------------------10分
∵AD∩BD=D，ED⊥面ABCD，------------------12分
∵ED?面AFED，
∴面AFED⊥面ABCD．----------------14分．

点评：本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．