题目内容
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
+
=
．
（1）求证：0＜B≤
；
（2）若sinB=
，且
•
=
，求|
+
|的值．
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
| 1 |
| sinB |
（1）求证：0＜B≤
| π |
| 3 |
（2）若sinB=
| ||
| 4 |
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
| BC |
| BA |
考点：正弦定理,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（1）已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的关系式代入并利用基本不等式变形求出cosB的范围，即可确定出B的范围；
（2）由sinB的值，确定出cosB的值，已知等式左边利用平面向量的数量积运算法则计算求出ac的值，进而确定出b的值，利用余弦定理求出a2+c2的值，所求式子平方后，利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算，将各自的值代入计算，开方即可求出值．
（2）由sinB的值，确定出cosB的值，已知等式左边利用平面向量的数量积运算法则计算求出ac的值，进而确定出b的值，利用余弦定理求出a2+c2的值，所求式子平方后，利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算，将各自的值代入计算，开方即可求出值．
解答：
解：（1）∵
+
=
=
=
=
，
∴sinAsinC=sin2B，
由正弦定理可得，b2=ac，
∵b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，
∴cosB≥
，即0＜B≤
；
（2）∵sinB=
，且b2=ac，
∴B不是最大角，
∴cosB=
=
，
∴
•
=cacosB=
ac=
，即ac=2，
∴b2=2，
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
∴a2+c2=5，
则|
+
|2=a2+c2+2
•
=a2+c2+2accosB=8，
即|
+
|=2
．
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
| sinCcosA+cosCsinA |
| sinAsinC |
| sin(A+C) |
| sinAsinC |
| sinB |
| sinAsinC |
| 1 |
| sinB |
∴sinAsinC=sin2B，
由正弦定理可得，b2=ac，
∵b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，
∴cosB≥
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）∵sinB=
| ||
| 4 |
∴B不是最大角，
∴cosB=
| 1-sin2B |
| 3 |
| 4 |
∴
| BA |
| BC |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴b2=2，
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
∴a2+c2=5，
则|
| BC |
| BA |
| BC |
| BA |
即|
| BC |
| BA |
| 2 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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