Question

【题目】已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．

（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．

①讨论f（x）的单调性；

②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②（0，1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）①对求导,分别讨论与的情况即可；

②由①若有两个不同的零点,则,由于当x→0时,f（x）→+∞；当x→+∞时,f（x）→+∞,则只需使得即可,进而求解；

（2）先对求导,由题可得,两式相减可得,转化为,设,即证,进而利用导函数判断单调性证明即可.

（1）f（x）＝h（x）﹣g（x）＝ex﹣2x﹣lnx﹣ex+ax2+ax＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx（x＞0）,

①（x＞0）,

（i）当a≤0时,f′（x）＜0,函数f（x）在（0,+∞）上递减；

（ii）当a＞0时,令f′（x）＞0,解得；令f′（x）＜0,解得,

∴函数f（x）在递减,在递增；

综上,当a≤0时,函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当a＞0时,函数f（x）在上单调递减,在上单调递增

②由①知,若a≤0,函数f（x）在（0,+∞）上单调递减,不可能有两个不同的零点,故a＞0；

且当x→0时,f（x）→+∞；当x→+∞时,f（x）→+∞；

故要使函数f（x）有两个不同的零点,只需,即,

又函数在（0,+∞）上为增函数,且,故的解集为（0,1）,

故实数a的取值范围为（0,1）

（2）证明: g′（x）＝ex﹣2ax﹣a,依题意,则,两式相减得,,

因为a＞0,要证,即证,即证，

两边同除以,即证,

令t＝x1﹣x2（t＜0）,即证,

令,则,

令,则,

当t＜0时,p′（t）＜0,所以p（t）在（﹣∞,0）上递减,

∴p（t）＞p（0）＝0,

∴h′（t）＜0,

∴h（t）在（﹣∞,0）上递减,

∴h（t）＞h（0）＝0,即,

故.