Question

【题目】已知函数．

（1）求在上的最值；

（2）设，若当，且时，，求整数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；

（2）由，令，，已知可化为在恒成立，根据函数的单调性求出整数的最小值即可．

解：（1），，

①当时，因为，所以在上单调递减，

所以，无最小值．

②当时，在上单调递减，在上单调递增；

所以，无最大值．

③当时，因为，等号仅在，时成立，

所以在上单调递增，所以，无最大值．

综上，当时，，无最小值；当时，，无最大值；

当时，，无最大值．

（2），

当时，因为，由（1）知，所以（当时等号成立），所以．

当时，因为，所以，所以，

令，，已知化为在上恒成立，

因为，令，，则，

在上单调递减，又因为，，

所以存在使得，

当时，，，在上单调递增；

当时，，，在上单调递减；

所以，

因为，所以，所以，

所以的最小整数值为．