Question

如图，已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E.

   （1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程； （2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求的值；  （3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）易知

    ……4分

   （2）设

    …4分

    又由  同理

    ………9分

   （3）

    先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且  猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点……8分

    证明：设

    当m变化时首先AE过定点N

   

   

    A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线

    ∴AE与BD相交于定点……14分