Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在一周期内，当x=

π

12

时，y取得最大值3，当x=

7π

12

时，y取得最小值-3，求：
（1）函数的解析式；
（2）求出函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程，对称中心坐标；
（3）当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数在一个周期内的最大、最小值及相应的x值，可得A=3且ω=2，再由函数在x=

7π

12

时取得最小值-3，列式解出φ=

π

3

，由此得到函数的表达式．
（2）根据三角函数单调区间和对称轴方程的结论，可得函数的单调增区间和对称轴方程，对称中心坐标；
（3）当x∈[-

π

12

，

π

6

]时，可得2x+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，结合三角函数的图象与性质即可得到函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵在一周期内，函数当x=

π

12

时取得最大值3，当x=

7π

12

时取得最小值-3．
∴正数A=3，周期T满足

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，得T=π，∴ω=

2π

T

=2
因此，函数表达式为f（x）=3sin（2x+φ），
将点（

7π

12

，-3）代入，得-3=3sin（2×

7π

12

+φ），即sin（2×

7π

12

+φ）=-1
∴

7π

6

+φ=-

π

2

+2mπ，m∈Z
∵|φ|＜π，∴取m=1，得φ=

π

3

综上所述，f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+

π

3

）
（2）令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

3

＜

π

2

+2kπ，解得-

5π

12

+kπ＜x＜

π

12

+kπ，k∈Z
∴函数f（x） 的单调增区间为（-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ），k∈Z
由2x+

π

3

=

π

2

+kπ，解得x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z
∴函数图象的对称轴方程为x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
由2x+

π

3

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z
∴函数f（x）的对称中心坐标为（

kπ

2

-

π

6

，0）（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

12

，

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，可得

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤

3

2

即得

3

2

≤3sin（2x+

π

3

）≤

3 3

2

因此，函数f（x）=3sin（2x+

π

3

）的值域为[

3

2

，

3 3

2

]．

点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数f（x）的单调区间和闭区间上的值域，着重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．