Question

【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围；

（2）试比较与的大小，并说明理由；

（3）设的两个极值点为，证明.

Answer 1

【答案】(1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.

（1）由题意得：定义域为；

在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根

即：与在有两个不同的交点

设过的的切线与相切于点

则切线斜率，解得：

过的的切线的斜率为：

，解得：

即的取值范围为：

（2）令，则

时，；时，

在上单调递增；在上单调递减

，即：

即：

（3）由（1）知，是方程的两根

即：，

设，则

原不等式等价于：

即：

设，则，只需证：，

设，

在上单调递增

即在上恒成立

所证不等式成立