Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析

【解析】

（1）由周长可求得，利用离心率求得，从而，从而得到椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程，代入韦达定理整理可得；利用点到直线距离公式表示出所求距离，化简可得结果.

（1）由椭圆定义知：的周长为：

由椭圆离心率： ，

椭圆的方程：

（2）由题意，直线斜率存在，直线的方程为：

设，

联立方程，消去得：

由已知，且，

由，即得：

即：

，整理得：，满足

点到直线的距离：为定值