Question

求函数f（x）=（4-3a）x²-2x+a在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：对二次项系数分类讨论，再确定二次函数的对称轴与区间[0，1]的关系，即可求得最大值．

解答：解：（1）当4-3a=0，即a=

4

3

时，f（x）=-2x+a为[0，1]上的减函数，所以f（x）的最大值f（0）=a
（2）当4-3a＞0，即a＜

4

3

时，函数图象是开口向上的抛物线，因此函数在x∈[0，1]时的最大值为f（0）或f（1），
∵f（0）=a，f（1）=4-3a-2+a=2-2a，
∴f（0）-f（1）=3a-2
①当a=

2

3

时，f（0）=f（1）=

2

3

，函数的最大值是

2

3

；
②当a＜

2

3

时，f（0）＜f（1），函数的最大值为f（1）=2-2a
③当

2

3

＜a＜

4

3

时，f（0）＞f（1），函数的最大值为f（0）=a
（3）当4-3a＜0，即a＞

4

3

时，函数图象是开口向下的抛物线，关于直线x=

1

4-3a

对称
∵

1

4-3a

＜0
∴f（x）在区间[0，1]上是减函数，函数的最大值为f（0）=a
综上所述，得f（x）的最大值为g（a）=

a，a≥ 2 3 2-2a，a＜ 2 3

．

点评：本题考查含有字母参数的函数的最大值，着重考查了二次函数在闭区间上的最值的求法，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题