Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的增区间；
（3）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期的公式进行求解；
（2）利用（1）得出的正弦函数根据正弦函数增区间性质可得出所求；
（3）判断f（x）在定义域内的增减区间来求出值域；

解答：解：
f（x）=sin2x×

1

2

+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)
（1∵0∴
T=

2π

2

=π
（2）由f（x）可以看出函数f（x）的增区间为
2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]
即函数f（x）的增区间为：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]k∈Z
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
根据正弦函数的增减区间可知：
当2x+

π

4

=-

π

4

时，f（x）_min=-1；
当2x+

π

4

=

π

2

时f（x）_max=

2

；
∴f（x）∈[-1，

2

]

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的周期、定义域和值域，熟练掌握公式是解本题的关键．