Question

已知f（x）=cos（2x-

π

6

）+cos（2x-

5π

6

）-2cos²x+1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

 ]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的余弦公式和二倍角的余弦公式，化简得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，再由三角函数周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

 ]算出2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

 ]，结合正弦函数的图象与性质，即可求出函数在[-

π

4

，

π

4

 ]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）根据题意，得
f(x)=cos(2x-

π

6

)+cos(2x-

5π

6

)-2cos2x+1
=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
∴T=

2π

2

=π，即f（x）的最小正周期为π；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

 ]时，2x∈[-

π

2

，

π

2

 ]，
∴2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

 ]，可得sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

 ]
∴f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

 ]上的最大值为1，最小值为-

2

．（12分）

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期和闭区间上的最值．着重考查了三角恒等变换应用、三角函数的图象与性质和函数值域求法等知识，属于中档题．