题目内容
已知函数f（x）=
sin（2x+
），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-
，
]上的最大值和最小值．
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的周期性及求法，从而求得结果．
（Ⅱ） 由于 函数f（x）在区间[-
，
]上是增函数，在区间[
，
]上是减函数，求得f（-
）、f（
）、
f（
）的值，比较可得函数f（x）在区间[-
，
]上的最大值和最小值．
（Ⅱ） 由于 函数f（x）在区间[-
| π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 8 |
f（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=
sin（2x+
），x∈R，∴最小正周期为T=
=π．
（Ⅱ）令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，解得 kπ-
≤x≤kπ+
k∈z，
故函数的增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
令 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，解得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+
kπ+
]，k∈z．
再由x∈[-
，
]，可得函数f（x）在区间[-
，
]上是增函数，在区间[
，
]上是减函数．
又f（-
）=-1，f（
）=
，f（
）=1，
故函数f（x）在区间[-
，
]上的最大值和最小值分别为
和-1．
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2π |
| 2 |
（Ⅱ）令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
故函数的增区间为[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
令 2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
故函数的减区间为[kπ+
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
再由x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
又f（-
| π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| 2 |
| π |
| 4 |
故函数f（x）在区间[-
| π |
| 4 |
| π |
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点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的周期性和求法，函数y=Asin（ωx+∅）的单调性和值域，属于中档题．
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