Question

8．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x²-4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin$\frac{π}{4}$x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（　　）

• A． 3π
• B． 6
• C． 12
• D． 12π

Answer 1

分析 根据条件，先判断g（x）关于x=2对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．

解答 解：∵y=x²-4x+5的对称轴为x=2，
∴由g（x）=f（x²-4x+5），得g（x）关于x=2对称，
由g（x）+sin$\frac{π}{4}$x=0得g（x）=-sin$\frac{π}{4}$x，
作出函数y=-sin$\frac{π}{4}$x的图象，
若程g（x）+sin$\frac{π}{4}$x=0只有6个根，
则六个根两两关于x=2对称，
则关于对称的根分别为x₁和x₂，x₃和x₄，x₅和x₆，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=2，$\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}$=2
则x₁+x₂=4，x₃+x₄=4，x₅+x₆=4
则这6个根之和为4+4+4=12，
故选：C．

点评 本题主要考查根的个数的判断，根据条件判断两个函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强．