Question

16．对a，b∈R定义运算“*”为a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≤b）}\\{b（a＞b）}\end{array}\right.$若f（x）=[log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）]*（log₂x），试求f（x）的值域．

Answer 1

分析 首先求出函数f（x）的定义域，然后由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-22）≤log₂x求得x的范围，然后写出分段求出值域后取并集得答案．

解答 解：函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）*log₂x的定义域为{x|x＞$\frac{2}{3}$}，
由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）≤log₂x，得-log₂（3x-2）≤log₂x，即log₂x（3x-2）≥0，
∴3x²-2x-1≥0，解得：x≤-$\frac{1}{3}$或x≥1．
∵函数的定义域为{x|x＞$\frac{2}{3}$}，∴x≥1．
则当$\frac{2}{3}$＜x＜1时，log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）＞log₂x．
∴当x≥1时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$1=0；
当$\frac{2}{3}$＜x＜1时，f（x）=log₂x∈（log₂$\frac{2}{3}$，0）．
∴函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2）*log₂x的值域为（-∞，0]．

点评 本题考查了分段函数的值域，考查了对数不等式的解法，关键是对题意的正确理解，是中档题．