Question

11．已知函数f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$，求：函数f（x）的定义域及周期．

Answer 1

分析 直接由分母不等于0求解x的取值集合得函数的定义域；利用同角三角函数的基本关系式化简求得周期．

解答 解：要使原函数有意义，则cos2x≠0，即2x$≠\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴$x≠\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
∴原函数的定义域为{x|$x≠\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$}；
由f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x+5（1-co{s}^{2}x）-4}{cos2x}$=$\frac{（2co{s}^{2}x-1）（3co{s}^{2}x-1）}{cos2x}$
=3cos²x-1=$3•\frac{1+cos2x}{2}-1=\frac{3}{2}cos2x+\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的周期为T=$\frac{2π}{2}=π$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查了与三角函数有关的函数定义域的求法，考查了函数的周期性，是基础题．