Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．

（Ⅰ）设与平面所成的角为，二面角的

大小为，求证：；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点（与两点不重合），使得

∥平面? 若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解法一：(1)证明： 又

                                         

 又平面，,面    

 ∴             

   ,               

                                      

(2) 取的中点，连交于,由与相似得，,  

    在上取点,使,则,                  

    在上取点使,由于平行且等于,               

    故有平行且等于，                                              

四边形为平行四边形，所以,                            

而, 故有∥平面,                                  

所以在线段上存在一点使得∥平面，的长为.        

解法二：（1）同解法一；

（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则,为的中点,则   

假设存在符合条件的点，则共面，

故存在实数，使得           

即，故有即   

即存在符合条件的点，的长为.