Question

8．设数列{a_n}满足a₁=2，且a_n+1-a_n=2n+2，则数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前5项和为$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 先用迭代法求数列的通项公式，再用裂项求和即可求出答案．

解答 解：a_n=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）+a₁=2+2×2+2×3+…+2×n═2（1+2+3+…+n）=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前5项和为（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$）=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$，
故答案为：$\frac{5}{6}$

点评 本题考查了利用迭代法求数列的通项公式和裂项求和，属于中档题．