题目内容
16．已知数列{an}满足：${a_1}∈{N^+}，{a_1}≤36$，且${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，记集合$M=\left\{{{a_n}|n∈{N^+}}\right\}$（1）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（2）求集合M的元素个数的最大值．
分析 （Ⅰ）若a1=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={an|n∈N*}．可得a2=2a1=12，a3=24，a4=12，…，即可得出集合M的所有元素．
（Ⅱ）①由于集合M存在一个元素是3的倍数，不妨设ak是3的倍数，由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
②对a1≤36，an=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an＜36（n=2，3，…），由a1是正整数，a2=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，可得a2是2的倍数．从而当n≥2时，an是2的倍数．如果a1是3的倍数，则对所有正整数n，an是3的倍数．如果a1不是3的倍数，对所有正整数n，an不是3的倍数．进而得出．
解答 解：（Ⅰ）若a1=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={an|n∈N*}．
∴a2=2a1=12，a3=2a2=24，a4=2×a3-36=12，…，
故集合M的所有元素为6，12，24．
（Ⅱ）①∵集合M存在一个元素是3的倍数，∴不妨设ak是3的倍数，
由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，∵ak=2ak-1，或ak=2ak-1-36，∴2ak-1是3的倍数；于是ak-1是3的倍数；
类似可得，ak-2，…，a1都是3的倍数；
从而对任意n≥1，an是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数
②对a1≤36，an=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an＜36（n=2，3，…）
∵a1是正整数，a2=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，∴a2是2的倍数．
从而当n≥2时，an是2的倍数．
如果a1是3的倍数，则对所有正整数n，an是3的倍数．
因此当n≥3时，an∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
如果a1不是3的倍数，对所有正整数n，an不是3的倍数．
因此当n≥3时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
综上可得：集合M的元素个数的最大值是8．
点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、数的整除性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
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53天天练系列答案
的图象，可将函数
的图象（ ）
个单位 B．向左平移
个单位 
个单位 D．向右平移
个单位
C．
D．1
（
为圆心）经过点
，并且与圆
相切．
的轨迹
的方程；
的直线
与曲线
相交于点
，
，并且
，求直线
的方程．