Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+（2a+1）x²+3a（a+2）x+1，a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当a=-1时，求函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出a=-1的函数的导数，求出单调区间和极值，以及端点的函数值，即可得到最值．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+1，
∴f（3）=19，∵f′（x）=x²+2x，
曲线在点（3，19）处的切线的斜率k=f′（3）=15
∴所求的切线方程为y-19=15（x-3），即y=15x-26，
（2）当a=-1时，函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+1，
∵f′（x）=x²-2x-3，令f′（x）=0得x₁=-1，x₂=3，
x₂∉[0，4]，当x∈（0，3）时，f'（x）＜0，
即函数y=f（x）在（0，3）上单调递减，
当x∈（3，4）时，f′（x）＞0，即函数y=f（x）在（3，4）上单调递增，
∴函数y=f（x）在[0，4]上有最小值，f（x）_最小值=f（3）=-8，
又f（0）=1，f（4）=-$\frac{17}{3}$；
∴当a=-1时，函数y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值分别为1，-8．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，考查运算能力，属于中档题．