题目内容

20．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门召集了100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均速度情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过80km/h的有40人，不超过80km/h的有15人，在45名女性驾驶员中，平均车速超过80km/h的有20人，不超过80km/h的有25人．
（1）（Ⅰ）完成下面的列联表：
平均车速超过80km/h平均车速不超过80km/h合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过80km/h与性别有关．
参考公式与临界值表：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
P（K2≥k）0.15000.10000.0500.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
（2）在被调查的驾驶员中，按分层抽样从平均车速超过80km/h的人中抽取6人，再从这6人中常用简单随机抽样的方法随机抽取2人，求这2人恰好为1名男性1名女性的概率；
（3）以上述样本数据估计总体，在高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车均为男性驾驶员且车速超过80km/h的车辆数为X，求X的分布列和数学期望EX．

分析 （1）（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
（Ⅱ）求出基本事件的个数，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，X～B（3，0.4），求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）（Ⅰ）

平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计
男性驾驶员人数401555
女性驾驶员人数202545
合计6040100
因为K2=$\frac{100×（40×25-15×20）^{2}}{60×40×55×45}$≈8.249＞7.879，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．
（Ⅱ）由题意抽取6人中，男性4人，女性2人，从这6人中随机抽取2人得样本空间数是${C}_{6}^{2}$=15，
其中这2人恰好为1名男生1名女生的数是4×2=8，
因此这2人恰好为1名男生1名女生的概率是P=$\frac{8}{15}$；
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为0.4．X可取值是0，1，2，3，X～B（3，0.4），
有：P（X=0）=${C}_{3}^{0}•0．{6}^{3}$=$\frac{27}{125}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}•0.4•0．{6}^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•0．{4}^{2}•0.6$=$\frac{36}{125}$．P（X=3）=${C}_{3}^{3}•0．{4}^{3}$=$\frac{8}{125}$．
分布列为
X0123
P$\frac{27}{125}$$\frac{54}{125}$$\frac{36}{125}$$\frac{8}{125}$
E（X）=0×$\frac{27}{125}$+1×$\frac{54}{125}$+2×$\frac{36}{125}$+3×$\frac{8}{125}$=1.2．

点评 本题考查离散性随机变量的分布列，期望的求法，独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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