Question

【题目】已知函数，其中；

（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值，

（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于的不等式，当时恒成立，求的值.

（Ⅲ）令，若关于的方程在内至少有两个解，求出实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3)

【解析】分析: （Ⅰ）函数在处取得极值，当时，，即可求实数的值，
（Ⅱ）当时，，整理得得，求出右边的最小值，即可求的值；
（Ⅲ）令，构造函数，即方程在区间上只少有两个解，又，所以方程在区间上有解，分类讨论，即可求出实数的取值范围．

详解：（Ⅰ）

当时，，解得

经验证满足条件，

（Ⅱ）当时，

整理得

令，

则，

所以，即

∴

（Ⅲ）

令,，构造函数

即方程在区间上只少有两个解

又，所以方程在区间上有解

当时，，即函数在上是增函数，且，

所以此时方程在区间上无解

当时，，同上方程无解

当时，函数在上递增，在上递减，且

要使方程在区间上有解，则，即

所以此时

当时，函数在上递增，在上递减，且，

此时方程在内必有解，

当时，函数在上递增，在上递减，且

所以方程在区间内无解

综上，实数的范围是