Question

1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且$\sqrt{3}$cosC+sinC=$\frac{\sqrt{3}a}{b}$．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5$\sqrt{7}$，b=7，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可求∠B的大小；
（Ⅱ）由余弦定理可求|AB||BC|=42，利用平面向量数量积的运算即可得解．

解答 解：（I）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$cosC+sinC=$\frac{\sqrt{3}a}{b}$，
∴$\sqrt{3}$cosC+sinC=$\frac{\sqrt{3}sinA}{sinB}$，
∴$\sqrt{3}$sinBcosC+sinBsinC=$\sqrt{3}$sin（B+C），
∴$\sqrt{3}$sinBcosC+sinBsinC=$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$cosBsinC，
∴由于sinC≠0，可得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{3}$，a+c=5$\sqrt{7}$，b=7，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：49=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=175-3ac，
解得：ac=42，即|AB||BC|=42，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-|AB||BC|cosB=-42×$\frac{1}{2}$=-21．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，正切函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，熟练掌握相关定理公式是解题的关键，属于中档题．