Question

2．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3ⁿ+m，且a₁=2，
（1）求m的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n-a_n=n+6，（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）若数列{c_n}满足：c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和P_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3ⁿ+m，当n=1时，a₁=3+m=2，解得m．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得a_n．
（2）由b_n-a_n=n+6，（n∈N^*），可得b_n=2×3^n-1+n+6，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）c_n=na_n=2n•3^n-1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=3ⁿ+m，∴当n=1时，a₁=3+m=2，解得m=-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
当n=1时上式成立．
∴a_n=2×3^n-1，m=-1．
（2）∵b_n-a_n=n+6，（n∈N^*），
∴b_n=2×3^n-1+n+6，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+$\frac{n（7+n+6）}{2}$
=3ⁿ-1+$\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{13}{2}n$．
（3）c_n=na_n=2n•3^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和P_n=2（1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1），
3T_n=2[3+2×3²+3×3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
∴-2P_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）=2$（\frac{{3}^{n}-1}{3-1}-n•{3}^{n}）$，
∴P_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{2}$．

点评 本题考查了递推公式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．