＝x3+bx2+cx+d有两个极值点x1＝1.x2＝2.且直线y＝6x+1与曲线y＝f(x)相切于P点． (1)求b和c 的解析式, (3)在d为整数时.求过P点和y＝f(x)相切于一异于P点的直线方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

(文)已知函数f(x)＝x³＋bx²＋cx＋d有两个极值点x₁＝1，x₂＝2，且直线y＝6x＋1与曲线y＝f(x)相切于P点．

(1)求b和c

(2)求函数y＝f(x)的解析式；

(3)在d为整数时，求过P点和y＝f(x)相切于一异于P点的直线方程．

答案：
解析：

　　(文)解：(1)设直线y＝6x＋1，和y＝x³＋bx²＋cx＋d相切于点P(x₀，y₀)

　　∵f(x)＝x³＋bx²＋cx＋d有两个极值点x₁＝1，x2＝2，

　　于是f'(x)＝3x²＋2bx＋c＝3(x－1)(x－2)＝3x²－9x＋6

　　从而b＝－，c＝6

　　(2)又f(x)＝x³－x²＋6x＋d，且P(x₀，y₀)为切点，则

　　由③求得x₀＝0或x₀＝3，由①②联立知d＝1＋x₀²－x₀³．在x₀＝0时，d＝1；在x₀＝3

　　时，d＝∴f(x)＝x³－x²＋6x＋1，或f(x)＝x³－x²＋6x＋

　　(3)当d为整数时，d＝1符合条件，此时P为(0，1)

　　设过P(0，1)的直线l：y＝kx＋1和y＝x³－x²＋6x＋1，相切于另一点(x1，y1)．则

　　由④⑤及x₁≠0，可知：kx₁＝x₁³－x₁²＋6x₁即k＝x₁²－x₁＋6

　　再联立⑥可知k＝x₁²－x₁＋6＝3x₁²－9x₁＋6，又x₁≠0，

　　∴x₁＝，此时k＝故切线方程为：y＝x＋1

练习册系列答案

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．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围．

（2006•松江区模拟）（文）已知函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

1-(x-a)2

，（a，b∈R）
（Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对（a，b），试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠2k-2，k∈N}上的函数h（x），使当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），当x∈D时，h（x）取得最大值的自变量的值构成以x₀为首项的等差数列．

（文）已知函数f(x)=

x3-

x2，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）试判断m，n的大小并说明理由．

（文）已知函数f(x)=

sin2x+2cos2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）当0≤x≤

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