题目内容

(文)已知函数f(x)=2x-
12|x|

(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[2,3]恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)当x≤0时得到f(x)=0而f(x)=2,所以无解;当x>0时解出f(x)=2求出x即可;
(2)由 t∈[2,3]时,2tf(2t)+mf(t)≥0对恒成立得到,得到f(t)=2t-
1
2t
,代入得到m的范围即可.
解答:解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-
1
2x
.…(2分)
由条件可知 2x-
1
2x
=2
,即 22x-2•2x-1=0,
解得 2x=1±
2
.…(6分)∵2x>0,∴x=log2( 1+
2
 )
.…(8分)
(2)当t∈[2,3]时,2t22t-
1
22t
 )+m( 2t-
1
2t
 )≥0
,…(10分)
即 m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).…(13分)∵t∈[2,3],∴-(1+22t)∈[-65,-17],
故m的取值范围是[-17,+∞).…(16分)
点评:本题主要考查了函数恒成立问题.属于基础题.恒成立问题多需要转化,因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化;转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用,同时转化过程更提出了等价的意识和要求.
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