Question

（文）已知函数f(x)=

3

sin2x+2cos2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）当0≤x≤

π

2

时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化简函数，即可求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）当0≤x≤

π

2

时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函数的性质，可求f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+2cos2x+2=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3，
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，
由2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得函数的单调递减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴2≤2sin（2x+

π

6

）+3≤5，
∴f（x）的值域为[2，5]．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确利用三角函数的性质是关键．