Question

3．在△ABC中，设AB=6，BC=7，AC=4，O为△ABC的内心，若$\overrightarrow{AO}$=p$\overrightarrow{AB}$+q$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{p}{q}$等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据三角形内心的性质a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，利用向量的加减运算，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，即可得到结果．

解答 解：△ABC中，AB=6，BC=7，AC=4，O为△ABC的内心，
∴7$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+6$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴7$\overrightarrow{OA}$+4（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$）+6（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$，
解得$\overrightarrow{OA}$=-$\frac{4}{17}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{6}{17}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{4}{17}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{6}{17}$$\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AO}$=p$\overrightarrow{AB}$+q$\overrightarrow{AC}$，
∴p=$\frac{4}{17}$，q=$\frac{6}{17}$，
∴$\frac{p}{q}$=$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角形内角平分线的性质与向量的加减运算问题，是中档题目．