Question

18．已知α，β都是锐角，$sinα=\frac{4}{5}，cos（α+β）=-\frac{8}{17}$，则cosβ=$\frac{36}{85}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sin（α+β）的值，由于β=（α+β）-α，利用两角差的余弦即可求得cosβ．

解答 解：∵α，β都是锐角，$sinα=\frac{4}{5}，cos（α+β）=-\frac{8}{17}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{15}{17}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=（-$\frac{8}{17}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{15}{17}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{36}{85}$．
故答案为：$\frac{36}{85}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和与差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，利用β=（α+β）-α是解决问题的关键，属于中档题．