Question

6．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），θ∈R$，则△ABC的面积为1．

Answer 1

分析 由∠A=90°，$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$．不妨设$\overrightarrow{AB}$=（m，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，m），又$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），θ∈R$，可得$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（m，m）=2$\overrightarrow{a}$=2（cosθ，sinθ），解得θ，m即可得出．

解答 解：∵∠A=90°，$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$，
不妨设$\overrightarrow{AB}$=（m，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，m），
又$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），θ∈R$，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（m，m）=2$\overrightarrow{a}$=2（cosθ，sinθ），
∴cosθ=sinθ，解得tanθ=1，取$θ=\frac{π}{4}$．
∴$\overrightarrow{a}$=$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{AB}$=$（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AC}$=$（0，\sqrt{2}）$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了向量的线性运算、三角函数求值、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．