Question

13．已知y=sin³θ+cos³θ，x=sinθ+cosθ，
（Ⅰ）把y表示为x的函数y=f（x）并写出定义域；
（Ⅱ）求y=f（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数关系式化简求解函数解析式即可．
（Ⅱ）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 （1）$[{-\sqrt{2}}\right.，\left.{\sqrt{2}}]$（2）y=f（x）的最大值为1，y=f（x）的最小值-1
解：（Ⅰ）y=（sinθ+cosθ）（sin²θ+cos²θ-sinθcosθ）
=$（sinθ+cosθ）[1-\frac{{{{（sinθ+cosθ）}^2}-1}}{2}]$
=$x（{1-\frac{{{x^2}-1}}{2}}）=-\frac{x^3}{2}+\frac{3}{2}x$．
所以$f（x）=-\frac{x^3}{2}+\frac{3}{2}x$…（4分）
由$x=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∴$-\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}$．
所以函数的定义域为$[{-\sqrt{2}}\right.，\left.{\sqrt{2}}]$…（6分）
（Ⅱ）∵${f^/}（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}（x-1）（x+1）$…（8分）

x	$-\sqrt{2}$	$（-\sqrt{2}，-1）$	-1	（-1，1）	1	$（1，\sqrt{2}）$	$\sqrt{2}$
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	减函数	极小值-1	增函数	极大值1	减函数	$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

…（10分）∴f（x）在$（{-\sqrt{2}，\left.{-1}）}\right.$上单调递减，在（-1，1）上单调递增，在$（{1，\left.{\sqrt{2}}）}\right.$上单调递减，$f（-\sqrt{2}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜f（1）=1$，$f（-1）=-1＜f（\sqrt{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴y=f（x）的最大值为1，y=f（x）的最小值-1…（12分）

点评 本题考查函数与导数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．