Question

12．设函数f（x）=ax-sinx．
（1）若函数f（x）在R上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f′（x）=a-cosx≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax-sinx，
∴f′（x）=a-cosx，
∵函数f（x）在R上是单调增函数，
∴f′（x）=a-cosx≥0在R上恒成立，
∴a≥1；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=$\frac{1}{2}$-cosx，
∴当x∈（$\frac{1}{3}π$，$\frac{1}{2}$π）时，f'（x）＞0，f（x）递增
当x∈（0，$\frac{1}{3}π$）时，f'（x）＜0，f（x）递减
∴f（x）的最大值为f（0）=$\frac{π}{4}$-1，f（x）的最小值为f（$\frac{1}{3}π$）=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．