Question

15．讨论关于x的方程x²-（a+a²）x+a³=0（a为常数）的根的情况．

Answer 1

分析 由条件利用判别式的符号，判断方程的根的个数．

解答 解：由于此一元二次方程的判别式△=（a+a²）²-12a³=a⁴-10a³+a²=a² （a²-10a+1），
令△=0，求得a=0，或a=5-2$\sqrt{6}$，或 a=5+2$\sqrt{6}$．
故当a=0，或a=5-2$\sqrt{6}$，或 a=5+2$\sqrt{6}$时，△=0，原方程有唯一的实数根；
故当a＜0，或0＜a＜5-2$\sqrt{6}$，或 a＞5+2$\sqrt{6}$ 时，△＞0，原方程有2个不同的实数根．
当5-2$\sqrt{6}$＜a＜5+2$\sqrt{6}$时，△=0．原方程没有实数根．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．