Question

（2012•衡阳模拟）我们规定满足“f（-x）=-f（x）”的分段函数叫“对偶函数”．已知函数f（x）=

x2+4x，x≥0 g(x)，x＜0

是对偶函数．
（1）g（x）=

4x-x²

；
（2）若f[

n

i=1

1

i(i+1)

-

m

10

]＞0对任意的n∈N^*都成立，则最大正整数m是

4

．

Answer 1

分析：（1）首先把x＜0转化到x≥0范围上去，再根据对偶函数的定义和函数f（x）的解析式，化简即可
（2）由函数f（x）的图象确定函数f（x）的单调性，再结合f（0）=0，把函数值的大小关系转化为自变量的小关系，根据恒成立问题的求解方法（最值法）即可求得m的范围，从而可得最大正整数m的值

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴g（x）=-f（-x）=4x-x²=4x-x²
故答案为：4x-x²
（2）结合图象知函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数，又f（0）=0
若f[

n

i=1

1

i(i+1)

-

m

10

]＞0=f（0）对任意的n∈N^*都成立等价于若

n

i=1

1

i(i+1)

-

m

10

＞0对任意的n∈N^*都成立
即

m

10

＜

n

i=1

1

i(i+1)

=1-

1

n+1

又当n=1时，1-

1

n+1

取得最小值，最小值为1-

1

2

=

1

2

∴

m

10

＜

1

2

∴m＜5
∴m的最大正整数是4
故答案为：4

点评：本题考查分段函数解析式的求法以及恒成立问题的求解方法，求函数的解析式要注意自变量的范围和函数性质的应用．恒成立问题可转化为求最值或参数分离法．属中档题