题目内容

(2012•衡阳模拟)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD的边BC垂直于圆O所在的平面,且AB=2,AD=EF=1.
(1)求证:AF⊥平面CBF;
(2)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;
(3)求三棱锥的体积VF-ABC
分析:(1)通过证明AF⊥CB,AF⊥BF,CB∩BF=B,然后证明AF⊥平面CBF.
(2)设DF的中点为N,证明MNAO为平行四边形,说明OM∥AN,然后证明OM∥平面DAF.
(3)求出几何体的底面面积与高,即可求解几何体的体积.
解答:解:(1)证明:∵CB⊥平面ABEF
又AF?平面ABEF,∴AF⊥CB…(1分)
又∵AB为圆O的直径,∴AF⊥BF…(2分)
又CB∩BF=B,CB,BF?平面CBF
∴AF⊥平面CBF…(4分)
(2)设DF的中点为N,则MN
.
.
1
2
CD
,又AO
.
.
1
2
CD

则MN
.
.
AO,∴MNAO为平行四边形          …(6分)
∴OM∥AN,又AN?平面DAF,OM?平面DAF…(7分)
∴OM∥平面DAF…(8分)
(3)由平面几何知识知EF=1,OBEF是平行四边形,AF=1 …(9分)
∴BF=
3
,∴S△ABF=
1
2
3
…(10分)
又∵CB⊥平面ABEF
∴VF-ABC=VC-ABF=
1
3
CB•S△ABF=
1
2
3
…(12分)
点评:本题考查直线与平面的平行,直线与平面的垂直,几何体的体积的求法,考查空间想象能力,逻辑推理能力.
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