Question

如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处.然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛.

（Ⅰ）求A、C两岛之间的直线距离；
（Ⅱ）求∠BAC的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）70海里（Ⅱ）

本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学中的工具进行求解，试题的难度一般不大
（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，及∠ABC=180°-75°+15°=120可考虑利用据余弦定理求AC
（2）在△ABC中，据正弦定理，得∠BAC的正弦值.
解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°………………………2分
据余弦定理，得，
所以AC＝70. ………………5分
故A、C两岛之间的直线距离是70海里.…………6分
（Ⅱ）在△ABC中，据正弦定理，得，………………8分
所以.……………11分
故∠BAC的正弦值是.…………………12分