Question

13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论：
①最小正周期为π；
②将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，所得到的函数是偶函数；
③f（0）=1；
④$f（{\frac{12}{11}π}）＜f（{\frac{14}{13}π}）$．其中正确命题的序号是①④．

Answer 1

分析 由函数图象求出f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），计算最小正周期T，判断①正确；
通过f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得y=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，判断②错误；
计算f（0）≠1，判断③错误；
求出x=$\frac{13π}{12}$是f（x）图象的一条对称轴，且在x=$\frac{13π}{12}$时f（x）取得最大值；
判断$f（{\frac{12}{11}π}）＜f（{\frac{14}{13}π}）$，④正确．

解答 解：由函数图象可得：A=2，周期T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=π，∴①正确；
由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，
由点（$\frac{π}{3}$，0）在函数的图象上，根据五点法画图得：
2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，
解得$\frac{2π}{3}$+φ=π，得φ=$\frac{π}{3}$，
从而得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，
该函数不是偶函数，②错误；
f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$≠1，∴③错误；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z；
当k=1时，得出f（x）在区间[$\frac{7π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]上单调递增，在[$\frac{13π}{12}$，$\frac{19π}{12}$]上单调递减；
∴x=$\frac{13π}{12}$是f（x）图象的一条对称轴，且在x=$\frac{13π}{12}$时f（x）取得最大值；
又$\frac{π}{2}$＞|$\frac{13π}{12}$-$\frac{12π}{11}$|＞|$\frac{13π}{12}$-$\frac{14π}{13}$|，
∴$f（{\frac{12}{11}π}）＜f（{\frac{14}{13}π}）$，∴④正确．
综上，正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目．