Question

8．设等差数列{a_n}的公差d≠0，a₁=2d，若a_k是a₁与a_2k+1的等比中项，则k=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式表示出a_k与a_2k+1，由a_k是a₁与a_2k+1的等比中项，根据等比数列的性质列出关系式，根据公差d不为0，化简后得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答 解：由a₁=2d，得到a_k=2d+（k-1）d=（k+1）d，a_2k+1=2d+2kd=（2k+2）d，
又a_k是a₁与a_2k+1的等比中项，所以[（k+1）d]²=2d[（2k+2）d]，
化简得：（k+1）²d²=4（k+1）d²，由d≠0，
得到：（k+1）²=4（k+1），即k²-2k-3=0，k为正整数，
解得：k=3，k=-1（舍去），
则k的值为3．
故选：B．

点评 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，考查运算能力，是一道基础题．