Question

1．已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥2-|x-1|恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，直线y=m与函数f（x）的图象围成三角形，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为$（|x-\frac{a}{2}|+|x-1|{）_{min}}≥1$成立，根据绝对值的性质求出其最小值，从而求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出f（x）的分段函数的形式，画出函数的图象，结合图象求出m的范围即可．

解答 解：（ I）∵f（x）≥2-|x-1|恒成立，
即$|x-\frac{a}{2}|+|x-1|≥1$恒成立，
∴$（|x-\frac{a}{2}|+|x-1|{）_{min}}≥1$成立，（2分）
由$|x-\frac{a}{2}|+|x-1|≥|x-\frac{a}{2}-x+1|=|\frac{a}{2}-1|$得$|\frac{a}{2}-1|≥1$，（3分）
解得：a≤0或a≥4，所以a的取值范围为（-∞，0]∪[4，+∞）．（4分）
（Ⅱ）当a=1时，$f（x）=|2x-1|+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}2-3x，（x≤\frac{1}{2}）\\ x，（\frac{1}{2}＜x＜1）\\ 3x-2，（x≥1）\end{array}\right.$（6分）
做出f（x）的图象，如图所示：
（8分）
可知，当$\frac{1}{2}＜m≤1$时，直线y=m与函数的图象围成三角形，
即所求m的取值范围为$（\frac{1}{2}，1]$． （10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及数形结合思想，是一道中档题．