Question

【题目】如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝4，AD＝DC＝CB＝2，△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB（如图2）.

（1）求证：BC⊥AD

（2）求直线DE与平面BCD所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明AC⊥BC，结合平面ADC⊥平面ABC，推导出BC⊥平面ADC，然后证明BC⊥AD；

（2）取AC中点F，连结DF，EF，得到FA，FE，FD两两垂直，以FA，FE，FD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出它们的法向量，设直线DE与平面BCD所成角为θ，利用向量求线面角即可.

（1）在图1中，作CH⊥AB于H，

则BH，AH，

∵BC＝2，

∴CH，CA，所以，

∴AC⊥BC，

∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，

∴BC⊥平面ADC，

又AD平面ADC，

∴BC⊥AD.

（2）取AC中点F，连结DF，FE，

由题意知FA，FE，FD两两垂直，

以FA，FE，FD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

E（0，，0），D（0，0，），C（，0，0），

（0，），（0，﹣2，0），（，0，），

设（x，y，z）是平面BCD的法向量，

则，取x＝1，（1，0，），

设直线DE与平面BCD所成的角为θ，

则sinθ＝，

∴直线DE与平面BCD所成角的正弦值为.