题目内容
【题目】新型冠状病毒肺炎
疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.
日期代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
累计确诊人数 | 4 | 8 | 16 | 31 | 51 | 71 | 97 | 122 |
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①
，②
对变量
和
的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差
）：经过计算得
，
，
，
，其中
，
.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）；
（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
【答案】（1）选择模型①，详见解析（2）
（3）
【解析】
（1）根据残差图，估计值和真实值越接近，拟合效果越好，即可得解；
（2）令
，分别计算
的平均数，根据公式求得
，即可求出模型①对应点回归方程；
（3）将
代入回归方程，即可得解.
（1）根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，
模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好，
所以选择模型①.
（2）由（1），知
关于
的回归方程为
，令，则
.
由所给数据得：
，
，
，
，
关于的回归方程为.
（3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为
（人）.
【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数
(万人)与餐厅所用原材料数量
(袋)，得到如下统计表：
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数 | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
（1）根据所给5组数据，求出
关于
的线性回归方程
.
（2）已知购买原材料的费用
(元)与数量
(袋)的关系为
，
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润
销售收入
原材料费用).
参考公式： 
， 
.
参考数据： 
， 
， 
.
【题目】目前有声书正受着越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了
名用户，统计出年龄分布和用户付费金额（金额为整数）情况如下图．
有声书公司将付费高于
元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在
岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有
的“年轻用户”是“爱付费用户”．
（1）完成下面的
列联表，并据此资料，能否有
的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？
爱付费用户 | 不爱付费用户 | 合计 | |
年轻用户 | |||
非年轻用户 | |||
合计 |
（2）若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取
人，再从这人中随机抽取
人进行访谈，求抽取的人恰好都是“年轻用户”的概率．
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