Question

已知函数f（x）=ax²-3x+2+2lnx（a＞0）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间，并指出在每个单调区间上是增函数还是减函数；
（2）求实数a的取值范围，使对任意的x∈[1，+∞），恒有f（x）≥0成立．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=-1带入f（x），并求f′（x）=

-2x2-3x+2

x

，x＞0，令-2x²-3x+2=0得x=

1

2

，或-2（舍去），然后判断f′（x）在（0，

1

2

）和（

1

2

，+∞）上的符号即可找到f（x）的单调区间以及判断f（x）的单调性；
（2）根据题意知，f（1）≥0，所以a≥1．求f′（x）=

2ax2-3x+2

x

，x＞0，可以判断出2ax²-3x+2＞0恒成立，从而得到f′（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（1）≥0，所以a≥1．

解答： 解：（1）a=-1时，f（x）=-x²-3x+2+2lnx，f′（x）=-2x-3+

2

x

=

-2x2-3x+2

x

；
令f′（x）=0得x=-2，或

1

2

；
∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

，时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在(0，

1

2

)上单调递增，(0，

1

2

)是它的单调增区间；
x＞

1

2

时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在[

1

2

，+∞)上单调递减，[

1

2

，+∞)是它的单调减区间；
（2）由题意得，f（1）=a-1≥0，∴a≥1；
f′（x）=

2ax2-3x+2

x

，x＞0，对于二次函数2ax²-3x+2，△=9-16a＜0；
∴2ax²-3x+2＞0恒成立，即f′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立；
∴f（x）在[1，+∞）上递增，所以a≥1时，f（x）≥f（1）=a-1≥0恒成立；
∴实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，二次函数取值情况和判别式△的关系，以及对函数单调性定义的利用．