Question

15．已知x¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀•（x-1）¹⁰
（1）求a₀+a₁+a₂+…+a₁₀的值；
（2）若x¹⁰-3=f（x）（x-1）²+ax+b，其中f（x）是关于x的多顶式，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）令x=2，即可得出a₀+a₁+a₂+…+a₁₀．
（2）由x¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀•（x-1）¹⁰．可得x¹⁰-3=（x-1）²$[{a}_{2}+{a}_{3}（x-1）+…+{a}_{10}（x-1）^{8}]$+a₁x+a₀-a₁-3．又x¹⁰-3=f（x）（x-1）²+ax+b，因此a=a₁，b=a₀-a₁-3．令x=1，可得a₀．对x¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀•（x-1）¹⁰，两边求导可得：10x⁹=a₁+2a₂（x-1）+…+10${a}_{10}（x-1）^{9}$，令x=1，可得a₁．

解答 解：（1）令x=2，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=2¹⁰=1024．
（2）由x¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀•（x-1）¹⁰．
∴x¹⁰-3=（x-1）²$[{a}_{2}+{a}_{3}（x-1）+…+{a}_{10}（x-1）^{8}]$+a₁x+a₀-a₁-3．
又x¹⁰-3=f（x）（x-1）²+ax+b，
∴a=a₁，b=a₀-a₁-3．
令x=1，则a₀=1，
对x¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀•（x-1）¹⁰，
两边求导可得：10x⁹=a₁+2a₂（x-1）+…+10${a}_{10}（x-1）^{9}$，
令x=1，则a₁=10．
∴a=10，b=1-10-3=-12．

点评 本题考查了导数的应用、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．